数学数列典型10类例题
1. 前n项和公式:适用于等差数列和等比数列。
题型:给定数列的前n项,求和。
2. 首尾项和法:适用于等差数列。
题型:给定数列的首项和尾项,求和。
3. 差项和法:适用于等差数列。
题型:给定数列的公差和项数,求和。
4. 平均值法:适用于等差数列。
题型:给定数列的首项、末项和项数,求和。
5. 分组求和法:适用于等差数列以及部分特殊数列。
题型:将数列分成若干个分组,每个分组内的项之和相等,求总和。
6. 奇数项与偶数项和法:适用于部分特殊数列。
题型:给定数列的奇数项和偶数项之和,求总和。
7. 数列展开法:适用于部分特殊数列。
题型:将数列展开,观察规律求和。
8. 数学归纳法:适用于特殊数列。
例1:
求等差数列3.5.7.···的第10项和第100项。
分析:在这个等差数列中已知a1=3,d=2.n=10或n=100
即:
解答:
a10=3+(10-1)×2=21
a100=3+(100-1)×2=201
所以第10项是21,第100项是201。
例2:
把1988表示成28个连续偶数的和,那么其中最大的那个偶数是多少?
解答:
28个偶数成14组,对称的2个数是一组,即最小数和最大数是一组,
每组和为:1988÷14=142,最小数与最大数相差28-1=27个公差,
即相差2×27=54,这样转化为和差问题,最大数为(142+54)÷2=98。
例3:
求所有被7除余数是1的三位数的和。
分析:首先分析一下被7除余1的三位数是哪些,我们知道符合这一条件最小的是105+1=106,采用同样方法可知最大三位数是995,而且这些三位数前后两数相差7,即为等差数列。
即:
解答:
所求的三位数是106,113,120,......995,则
n=(995-106)÷7+1
=889÷7+1
=128
106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464
例4:
盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张,从盒中任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内,经过若干次这样的操作后,盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片,已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97,求那张黄色卡片上所写的数。
解答:
因为每次若干个数,进行了若干次,所以比较难把握,不妨从整体考虑,之前先退到简单的情况分析:假设有2个数20和30,它们的和除以17得到黄卡片数为16,如果分开算分别为3和13,再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16,也就是说不管几个数相加,总和除以17的余数不变,回到题目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180,9180÷17=540, 135个数的和除以17的余数为0,而19+97=116,116÷17=6……14, 所以黄卡片的数是17-14=3。
例5:
下面的各算式是按规律排列的:
1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……, 那么其中第多少个算式的结果是1992?
解答:先找出规律:每个式子由2个数相加,第一个数是1、2、3、4的循环,第二个数是从1开始的连续奇数。
因为1992是偶数,2个加数中第二个一定是奇数,所以第一个必为奇数,所以是1或3, 如果是1:那么第二个数为1992-1=1991,1991是第(1991+1)÷2=996项,而数字1始终是奇数项,两者不符, 所以这个算式是3+1989=1992,是(1989+1)÷2=995个算式。
例6:
有一个三角形算式
1
2+3
4+5+6
7+8+9+10
求第51层算式的和是多少?
先观察,因为每层的数的个数与层数相等,
所以从第1层到第50层共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(个)数,于是第51层的第一个数为1276,最后一个数为1275+51=1326
第51层的数的和相应为:
1276+1277+1278+...+1326
=(1276+1326)×51÷2
=66351。
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