数学数列典型10类例题

1. 前n项和公式：适用于等差数列和等比数列。

题型：给定数列的前n项，求和。

2. 首尾项和法：适用于等差数列。

题型：给定数列的首项和尾项，求和。

3. 差项和法：适用于等差数列。

题型：给定数列的公差和项数，求和。

4. 平均值法：适用于等差数列。

题型：给定数列的首项、末项和项数，求和。

5. 分组求和法：适用于等差数列以及部分特殊数列。

题型：将数列分成若干个分组，每个分组内的项之和相等，求总和。

6. 奇数项与偶数项和法：适用于部分特殊数列。

题型：给定数列的奇数项和偶数项之和，求总和。

7. 数列展开法：适用于部分特殊数列。

题型：将数列展开，观察规律求和。

8. 数学归纳法：适用于特殊数列。

例1:

求等差数列3.5.7.···的第10项和第100项。

分析：在这个等差数列中已知a1=3，d=2.n=10或n=100

即：

解答：

a10=3+（10-1）×2=21

a100=3+（100-1）×2=201

所以第10项是21，第100项是201。

例2:

把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？

解答：

28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，

每组和为：1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，

即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）÷2=98。

例3:

求所有被7除余数是1的三位数的和。

分析：首先分析一下被7除余1的三位数是哪些，我们知道符合这一条件最小的是105+1=106，采用同样方法可知最大三位数是995，而且这些三位数前后两数相差7，即为等差数列。

即：

解答：

所求的三位数是106，113，120，......995,则

n=(995-106)÷7+1

=889÷7+1

=128

106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464

例4:

盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

解答：

因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以黄卡片的数是17-14=3。

例5:

下面的各算式是按规律排列的：

1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少个算式的结果是1992？

解答：先找出规律：每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数。

因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3， 如果是1：那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995个算式。

例6:

有一个三角形算式

1

2+3

4+5+6

7+8+9+10

求第51层算式的和是多少？

先观察，因为每层的数的个数与层数相等，

所以从第1层到第50层共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(个)数，于是第51层的第一个数为1276，最后一个数为1275+51=1326

第51层的数的和相应为：

1276+1277+1278+...+1326

=(1276+1326)×51÷2

=66351。