射影定理公式及推导公式

定义

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

这三个式子叫做射影定理。[1]

验证推导

定义

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

这三个式子叫做射影定理。[1]

验证推导

①CD2=AD·BD;

②AC2=AD·AB;

③BC2=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2

∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2

∴2CD2=AB2-AD2-BD2

∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2

∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2

∴2CD2=2AD·BD

∴CD2=AD·BD

②∵CD2=AD·BD(已证)

∴CD2+AD2=AD·BD+AD2

∴AC2=AD·(BD+AD)

∴AC2=AD·AB

③BC2=CD2+BD2

BC2=AD·BD+BD2

BC2=(AD+BD)·BD

BC2=AB·BD

∴BC2=AB·BD

④∵S△ACB=

AC×BC=

AB·CD

∴

AC·BC=

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理公式及推导过程

影射定理

影射定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，这三个式子叫做射影定理。

射影定理内容。

两式相加得：

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC²（即勾股定理）。

注：AB²的意思是AB的2次方。

2射影定理证明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。